Dies ist wohl eine der spannensten Fragen. Die Anzahl an Primzahlen nimmt zwar ständig zu, die Zunahme verlangsamt sich jedoch ständig. Findet man im Intervall zwischen 0 und 100 noch 25 Primzahlen, so sind es in einem Intervall gleicher Länge bei größeren Zahlen deutlich weniger. So findet man zwischen 1.000.000 und 1.000.100 nur noch 6 Primzahlen, zwischen 10^12 und 10^12+100 noch 4, zwischen 10^24 und 10^24+100 noch 2 und im Intervall zwischen 10^48 und 10^48+100 liegt schließlich keine Primzahl mehr.
Manchmal kommt es allerdings auch vor, daß selbst bei solchen großen Zahlen noch 4 Zahlen in einem 100er Intervall liegen, z.B ab 10^49+10^25+719 oder 500 Zahlen in Folge keine Primzahl existiert. Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlen gibt ist völlig legitim, denn warum sollte man nicht alle Zahlen durch eine endliche Anzahl von Primzahlen erzeugen können?
Die Frage, ob es unendlich viele Primzahlen gibt, hat Euklid (365 - 300 v.Chr.) im neunten Buch seiner Elemente beantwortet. (Glatfeld, 1993) Euklid führte einen indirekten Beweis, also einen Beweis durch Widerspruch. Zur Erinnerung: Bei Beweis durch Widerspruch wird die gegenteilige Aussage behauptet und daraus durch logische Schlußfolgerungen ein Widerspruch zur gerade aufgestellten Behauptung erzeugt.
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