Wie der Name sagt, gibt es noch den Großen Satz von Fermat, der allerdings mit dem Kleinen nichts zu tun hat. Der Große Satz von Fermat ist auch unter der Namen "Fermats Last Theorem" bekannt. Ich kann hierzu ein äußerst spannendes Buch von Simon Singh mit gleichem Titel empfehlen.
Der Kleine Satz von Fermat hat folgende Aussage:
die von p nicht geteilt wird, dann ist: apºa (mod p) |
Beispiel (nach Conway, S. 160):
341 ist 11 mal 31, also eine zusammengesetzte Zahl.
2341º2 (mod 341), es ist jedoch 3341º168 (mod 341).
Es gibt also Basen a, für die a341 nicht kongruent a (mod 341) ist. Daraus kann man schließen, daß 341 eine zusammengesetzte Zahl ist.
Kann man aber umgekehrt sagen, daß es sich um eine Primzahl handelt, wenn die Kongruenz für alle a, die von p nicht geteilt werden, richtig ist?
Nein, das geht nicht!
Carmichael, ein amerikanischer Mathematiker, entdeckt 1909 einige Zahlen, für die der Kleine Satz von Fermat gilt, die jedoch keine Primzahlen sind. Man nennt sie heute ihm zu Ehren Carmichael-Zahlen.
561=3*11*17 ist die kleinste Carmichael-Zahl und die einzige unter 1000.
Bis 106 gibt es 43, bis 1015 gibt es 105212. Trotz ihrer Seltenheit gibt es unendlich viele solcher Zahlen. (Siegler/König, 1993)
Der kleine Satz von Fermat sagt also aus, daß er von allen Primzahlen erfüllt wird, aber auch von Zahlen, die nicht Primzahlen sind.
Man sagt: Der kleine Satz von Fermat ist eine notwendige Bedingung für die Primeigenschaft, jedoch nicht hinreichend.
Auf die Welt außerhalb der Mathematik übertragen würde man sagen: Für Sonnenschein ist eine notwendige Bedingung, daß es Tag (und nicht Nacht) ist, hinreichend ist dies jedoch nicht (Es könnten Wolken am Himmel stehen oder eine Sonnenfinsternis sein).
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