Kongruenzrechnung begegnet uns auch im täglich Leben. Nehmen wir die Uhrzeit und das Datum als Beispiel.
13 Uhr ist kongruent zu 1 Uhr modulo 12.
Der 14. Juli 1999 ist ein Montag, dann ist der 7. Juli, 21. Juli und 28. Juli ebenfalls ein Montag, weil die Woche 7 Tage hat und 7º14º21º28 (mod7) ist.
Unsere ganze Zeitrechnung beruht eigentlich auf Kongruenzen, denn wir fangen doch immer wieder von vorne an, wenn ein Zyklus vorbei ist. Nach Sekunden zählt man modulo 60, Minuten ebenfalls, Stunden modulo 12 (oder 24), Tage modulo 28,29,30 oder 31 und Monate modulo 12. Im Englischen nennt man das Kongruenzrechnen deshalb "clock arithmetic".
Die Kongruenzrechnung ist sehr wichtig für alles weitere. Bei Gleichungen ist man gewohnt, Äquivalenzoperationen durchzuführen, d.h. z.B. bei den Seiten einer Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren zu dürfen. Bei Kongruenzen gibt es ebenfalls Rechenregeln, allerdings ist nicht alles erlaubt, was bei Gleichungen erlaubt ist. Für alles weitere benötigen wir eigentlich nur wenige Rechenregeln:
- Man darf zu beiden Seiten der Kongruenz dieselbe Zahl addieren oder von beiden Seiten subtrahieren.
- Man darf beide Seiten der Kongruenz mit derselben Zahl multiplizieren.
- Man darf nicht immer beide Seiten der Kongruenz durch dieselbe Zahl dividieren!
- Man darf beide Seiten einer Kongruenz mit derselben natürliche Zahl n potenzieren, also wenn aºb (mod m), so ist auch anºbn (mod m).
- Wenn aºb (mod m) und bºc (mod m), so ist auch aºc (mod m)
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