3.1 Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 9 teilbar ist (Burau, 1970)!
Eine Zahl N=zkzk-1...z3z2z1z0, wobei die z jeweils Ziffern zwischen 0 und 9 sind, läßt sich auch schreiben als
N=z0+ z1*10 + z2*102 + z3*103+ ... + zk-1*10k-1 + zk*10k
Bsp.: 4711 = 4*1000+7*100+1*10+1=4*103+7*102+1*101+1
Nun ist 10º1 (mod9), also auch (nach der 4. Rechenregel) 100 = 102º12 (mod 9) und 1000 = 103º13 (mod 9) usw.
Nach der 2. Rechenregel ist zk*10kºzk*1k ºzk (mod 9).
Nach der 1. Rechenregel kann man nun auch summieren, also
N=z0+ z1*10 + z2*102 + z3*103+ ... + zk-1*10k-1 + zk*10k
ºz0+ z1 + z2 + z3+ ... + zk-1 + zk (mod 9)
Die letzte Summe in der Kongruenz ist ja gerade die Quersumme der Zahl N. Ist diese Quersumme nun ein Vielfaches von 9, so ist
z0+ z1 + z2 + z3+ ... + zk-1 + zk º 0 (mod 9)
Angefangen hatte wir mit N, also wegen der 5. Rechenregel ist auch Nº 0 (mod 9). Wenn die Quersumme einer Zahl durch 9 teilbar ist, so ist die Zahl selbst also auch durch 9 teilbar.
Aufgabe 1: Zeige folgende Aussage mit der Kongruenzrechnung:
Eine Zahl ist durch 11 teilbar, wenn die alternierende Quersumme
(z0- z1 + z2 - z3+ - ....) durch 11 teilbar ist.
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